超幾何分布
非復元抽出における P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X ≥ k) を厳密な分数で計算し、平均・分散とすべての結果のライブチャートを表示します。
確率・チャート・ステップはリアルタイムに更新されます。
結果P(X = k)
385/969≈ 0.397317
- P(X = k)
- 385/969≈ 0.397317
- P(X ≤ k)
- 682/969≈ 0.703818
- P(X ≥ k)
- 224/323≈ 0.693498
分布（N = 20、K = 8、n = 5）
k=0
33/646
k=1
165/646
k=2385/969
385/969
k=3
77/323
k=4
35/646
k=5
7/1938
各バーはその結果の厳密な確率です。濃いバーが選択した事象を表します。PMF（P(X = k)）と CDF（P(X ≤ k)）を切り替えられます。
段階的な解答
- 1
公式
X 〜 超幾何(N, K, n) において、P(X = k) は成功をちょうど k 個含むサンプル数をすべてのサンプル数で割ったものです：P(X = k) = C(K, k) · C(N−K, n−k) / C(N, n)。
- 2
値を代入
N = 20、K = 8、n = 5、k = 2。とりうる値は 0 ≤ k ≤ 5 です。
- 3
成功を選ぶ
C(8, 2) = 28.
- 4
失敗を選ぶ
C(12, 3) = 220.
- 5
すべての可能なサンプル
C(20, 5) = 15504.
- 6
組み合わせる
P(X = 2) = (28 · 220) / 15504 = 385/969.
- 7
結果
P(X = 2) = 385/969
超幾何分布について
超幾何分布は非復元抽出をモデル化します：成功を K 個含む大きさ N の母集団から n 個を抽出し、X が取り出した成功数を数えます。取り出したものは戻さないため、毎回の抽出が次の確率を変えます — 確率 p が固定の二項分布とは異なります。
とりうる値は max(0, n + K − N) ≤ k ≤ min(n, K) です：存在する以上の成功は得られず、サンプルが十分大きければ少なくとも n − (N − K) 個の成功が確定します。平均は n · K/N、分散は二項分散に有限母集団補正 (N − n)/(N − 1) を掛けたもので、サンプルが母集団全体を覆うとき 0 に近づきます。
典型的な応用：宝くじの確率（49 個中 6 個）、品質管理（サンプル中の不良品）、カードゲーム。経験則として、サンプルが母集団に比べて小さい（n ≤ N/10）とき、超幾何分布は二項分布 Bin(n, K/N) に近くなります。