Quadratische Ergänzung

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. 1

   Der quadratische Term

   Forme den quadratischen Ausdruck in die Scheitelform a(x − h)² + k um, mit a = 1, b = 6 und c = 5.

   $$x^{2} + 6x + 5$$
2. 2

   Den x-Koeffizienten halbieren und quadrieren

   Die Hälfte von 6 ist 3; quadriert ergibt das 9. Diese Zahl vervollständigt das Quadrat in der Klammer.

   $$\left(\frac{6}{2}\right)^{2} = \left(3\right)^{2} = 9$$
3. 3

   In der Klammer addieren, außen ausgleichen

   Das Addieren von 9 innerhalb der Klammer erhöht den gesamten Ausdruck um 9 (die Klammer wird mit 1 multipliziert), also ziehe außen 9 wieder ab, damit alles unverändert bleibt.

   $$1\left(x^{2} + 6x + 9\right) + 5 - 9$$
4. 4

   Die Klammer als vollständiges Quadrat schreiben

   Die Klammer ist ein vollständiges Quadrat: x² + 6x + 9 = (x + 3)², also (x − h)² mit h = -3.

   $$x^{2} + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^{2} - 4$$
5. 5

   Scheitelform, Scheitelpunkt und Symmetrieachse

   Mit h = -3 und k = -4 ist der Scheitelpunkt (-3, -4) und die Symmetrieachse ist die vertikale Gerade x = -3.

   $$x^{2} + 6x + 5 = \left(x + 3\right)^{2} - 4, \qquad \text{vertex} = \left(-3,\ -4\right)$$