Polynomdivision

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. 1

   Ansatz

   Dividiere P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 durch D(x) = x - 2. Wiederhole: führende Terme dividieren, multiplizieren, subtrahieren — bis der Grad des aktuellen Rests unter 1 fällt.

   $$\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) \div \left(x - 2\right)$$
2. 2

   Divisionsschritt 1

   Dividiere den führenden Term x^3 durch den führenden Term x, um den nächsten Quotiententerm x^2 zu erhalten; multipliziere D(x) damit und subtrahiere vom aktuellen Rest.

   $$\begin{aligned} \frac{1}{1} &= x^{2} \\[4pt] &x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(x^{3} - 2x^{2}\right) \\ ={}&-4x^{2} + 11x - 6 \end{aligned}$$

   • x^3 ÷ x = x^2
   • x^3 - 6x^2 + 11x - 6 − (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 11x - 6
3. 3

   Divisionsschritt 2

   Dividiere den führenden Term -4x^2 durch den führenden Term x, um den nächsten Quotiententerm -4x zu erhalten; multipliziere D(x) damit und subtrahiere vom aktuellen Rest.

   $$\begin{aligned} \frac{-4}{1} &= -4x \\[4pt] &-4x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(-4x^{2} + 8x\right) \\ ={}&3x - 6 \end{aligned}$$

   • -4x^2 ÷ x = -4x
   • -4x^2 + 11x - 6 − (-4x^2 + 8x) = 3x - 6
4. 4

   Divisionsschritt 3

   Dividiere den führenden Term 3x durch den führenden Term x, um den nächsten Quotiententerm 3 zu erhalten; multipliziere D(x) damit und subtrahiere vom aktuellen Rest.

   $$\begin{aligned} \frac{3}{1} &= 3 \\[4pt] &3x - 6 \\ -{}&\left(3x - 6\right) \\ ={}&0 \end{aligned}$$

   • 3x ÷ x = 3
   • 3x - 6 − (3x - 6) = 0
5. 5

   Ergebnis

   Quotient Q(x) = x^2 - 4x + 3, Rest R(x) = 0.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right) + 0$$
6. 6

   Der Divisor ist ein Faktor

   Der Rest ist 0, also teilt x - 2 das Polynom x^3 - 6x^2 + 11x - 6 genau — es ist ein Faktor des Dividenden.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right)$$
7. 7

   Restsatz

   Der Divisor ist linear von der Form (x − r) mit r = 2. Nach dem Restsatz ist der Rest gleich P(2) — hier 0.

   $$R = P\left(2\right) = 0$$