Deskriptive Statistik

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. 1

   Die Daten

   7 Werte, aufsteigend sortiert.

   $$4, 5, 6, 8, 8, 8, 9$$
2. 2

   Summe und Mittelwert

   Addiere alle Werte und teile dann die Summe durch n = 7. Dezimale Näherung: 48/7 ≈ 6.857143.

   $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7} x_i &= 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48 \\ \mu &= \frac{48}{7} = \frac{48}{7} \end{aligned}$$
3. 3

   Median

   Bei ungerader Anzahl von Werten ist der Median der mittlere Wert — Position 4 von 7.

   $$\tilde{x} = 8$$
4. 4

   Modus

   Der Wert 8 kommt 3 Mal vor — häufiger als jeder andere Wert, er ist also der Modus.

   $$\text{mode} = 8$$

   • 8 kommt 3 Mal vor
5. 5

   Spannweite

   Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert.

   $$R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 4 = 5$$
6. 6

   Varianz der Grundgesamtheit σ²

   Quadriere jede Abweichung vom Mittelwert, addiere die quadrierten Abweichungen und teile durch n = 7.

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} = \frac{\frac{146}{7}}{7} = \frac{146}{49}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
7. 7

   Stichprobenvarianz s²

   Für eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit liefert die Division durch n − 1 = 6 statt durch n (Bessel-Korrektur) eine erwartungstreue Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit.

   $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n - 1} = \frac{\frac{146}{7}}{6} = \frac{73}{21}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
8. 8

   Standardabweichungen

   Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Sie ist im Allgemeinen irrational, daher wird nur eine Dezimalnäherung angezeigt.

   $$\begin{aligned} \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{146}{49}} \approx 1.726149 \\ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73}{21}} \approx 1.864454 \end{aligned}$$
9. 9

   Quartile

   Q1 ist der Median der unteren Hälfte (die ersten 3 sortierten Werte) und Q3 der Median der oberen Hälfte (die letzten 3 sortierten Werte) — der mittlere Wert gehört zu keiner Hälfte.

   $$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 8$$
10. 10

    Ergebnis

    Mittelwert 48/7 ≈ 6.857143, Median 8, Modus 8, Standardabweichung der Grundgesamtheit σ ≈ 1.726149.

    $$\mu = \frac{48}{7}, \quad \tilde{x} = 8, \quad \sigma^2 = \frac{146}{49}, \quad \text{mode} = 8$$