Normalverteilungs-Rechner

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. 1

   Auf z-Wert standardisieren

   Subtrahiere den Mittelwert μ = 100 von x = 120 und teile durch die Standardabweichung σ = 15. Alle Eingaben sind rational, also ist der z-Wert ein exakter Bruch: z = 4/3 ≈ 1.333333.

   $$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{120 - 100}{15} = \frac{4}{3} \approx 1.333333$$
2. 2

   Φ(z) auswerten

   Φ(z) = ½·(1 + erf(z/√2)) hat keine geschlossene Form aus elementaren Funktionen, daher wird die Fehlerfunktion numerisch approximiert: Φ(1.333333) ≈ 0.908789.

   $$\Phi\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.908789$$
3. 3

   Ergebnis interpretieren

   Etwa 90.8789% der Werte einer N(100, 15²)-Verteilung liegen unterhalb von x = 120.

   $$P(X < 120) \approx 0.908789 \; (90.8789\%)$$
4. 4

   Ergebnis

   P(X ≤ 120) ≈ 0.908789, d. h. etwa 90.8789%, für X ~ N(100, 15²).

   $$P(X < 120) \approx 0.908789$$