Polynom-Faktorisierungsrechner

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. 1

   Polynom bestimmen

   Die Koeffizienten beschreiben das Polynom x^2 - 5x + 6 vom Grad 2.

   $$P(x) = x^{2} - 5x + 6$$
2. 2

   Kandidaten für rationale Nullstellen

   Nach dem rationalen Nullstellensatz hat jede rationale Nullstelle die Form p/q, wobei p den konstanten Term 6 teilt und q den Leitkoeffizienten 1 teilt.

   $$\frac{p}{q}, \quad p \mid 6, \quad q \mid 1$$

   • p ∣ 6: 1, 2, 3, 6
   • q ∣ 1: 1
   • ±p/q: ±1, ±2, ±3, ±6
3. 3

   Nullstelle gefunden

   Einsetzen von x = 2 in x^2 - 5x + 6 ergibt 0, also ist 2 eine Nullstelle.

   $$P\left(2\right) = 0$$

   • b₂ = 1
   • b₁ = 1·(2) + (−5) = −3
   • b₀ = −3·(2) + (6) = 0
4. 4

   Horner-Schema

   Division durch den linearen Faktor der Nullstelle 2: das Horner-Schema liefert den Quotienten x - 3.

   $$x^{2} - 5x + 6 = \left(x - 2\right) \cdot \left(x - 3\right)$$
5. 5

   Nullstelle gefunden

   Einsetzen von x = 3 in x - 3 ergibt 0, also ist 3 eine Nullstelle.

   $$P\left(3\right) = 0$$

   • b₁ = 1
   • b₀ = 1·(3) + (−3) = 0
6. 6

   Horner-Schema

   Division durch den linearen Faktor der Nullstelle 3: das Horner-Schema liefert den Quotienten 1.

   $$x - 3 = \left(x - 3\right) \cdot 1$$
7. 7

   Faktorisierte Form

   Die vollständige Faktorisierung des Polynoms über die rationalen Zahlen.

   $$P(x) = (x - 2)(x - 3)$$
8. 8

   Durch Ausmultiplizieren überprüfen

   Ausmultiplizieren des Produkts ergibt x^2 - 5x + 6, exakt das ursprüngliche Polynom x^2 - 5x + 6.

   $$(x - 2)(x - 3) = x^{2} - 5x + 6$$

   • (x - 2) · (x - 3) = x^2 - 5x + 6