Geradengleichung

Schritt-für-Schritt-Lösung

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   Die gegebenen Informationen

   Die Gerade verläuft durch zwei Punkte.

   $$(x_1, y_1) = \left(1,\ 2\right) \qquad (x_2, y_2) = \left(3,\ 8\right)$$
2. 2

   Steigung

   Die Steigung ist Aufstieg durch Vorwärtslauf: die Änderung in y geteilt durch die Änderung in x.

   $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6}{2} = 3$$
3. 3

   Punkt-Steigungs-Form

   Setze die Steigung m = 3 und den Punkt (1, 2) in die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁) ein.

   $$y - 2 = 3\left(x - 1\right)$$
4. 4

   Steigungsform

   Löse nach y auf: verteile die Steigung und fasse den konstanten Term zusammen. Die Konstante ist der y-Achsenabschnitt b = -1, das ergibt y = 3x - 1. Probe mit dem zweiten Punkt: m·x₂ + b = 8, passend zu y₂ ✓

   $$\begin{aligned} b &= y_1 - m \cdot x_1 \\ &= 2 - 3 \cdot 1 \\ &= -1 \\[2pt] y &= 3x - 1 \end{aligned}$$

   • b = y₁ − m·x₁ = 2 − 3·1 = -1
5. 5

   Standardform

   Alle Koeffizienten sind bereits ganzzahlig; forme y = mx + b in Ax + By = C um, indem der x-Term auf die linke Seite wandert.

   $$y = 3x - 1 \;\Longrightarrow\; 3x - y = 1$$
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   Achsenabschnitte

   Setze x = 0 für den y-Achsenabschnitt: y = -1. Setze y = 0 und löse 0 = mx + b nach x: x = −b/m = 1/3. Die Gerade schneidet die Achsen bei (0, -1) und (1/3, 0).

   $$\text{y-intercept: } \left(0,\ -1\right) \qquad \text{x-intercept: } \left(\frac{1}{3},\ 0\right)$$
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   Ergebnis

   Die Gerade hat die Steigung 3 und schneidet die y-Achse bei (0, -1). Gleichung: y = 3x - 1.

   $$y = 3x - 1$$