Diagonalisierung
Schreibe A als P D P⁻¹, wobei D diagonal ist (die Eigenwerte) und die Spalten von P die Eigenvektoren sind. Exakt, wenn die Eigenwerte rational sind.
Diagonalisierbar
A = P D P⁻¹ steht unten.
Eingabematrix A3×3
Ganze Zahlen, negative Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche (z. B. 3, -2, 1/2). Leere Zellen zählen als 0.
Exaktes Ergebnis
Alle Eigenwerte sind rational, daher sind P, D und P⁻¹ exakt.
P (Eigenvektoren)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
D (Eigenwerte)
0
0
0
P⁻¹
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A = P · D · P⁻¹
Schritt-für-Schritt-Lösung
- 1
Charakteristisches Polynom
Berechne p(λ) = det(λI − A) mit dem Faddeev-LeVerrier-Algorithmus. Jeder Koeffizient entsteht aus Spuren exakt berechneter Matrixprodukte — ohne Rundungsfehler.
- p(λ) = λ^3
- 2
Nach rationalen Lösungen suchen
Wende den Satz über rationale Lösungen an: Jede rationale Lösung p/q (vollständig gekürzt) hat p ∣ Absolutglied und q ∣ Leitkoeffizient. Gefundene Lösungen: 0 (×3).
- λ = 0, algebraic multiplicity 3
- 3
Eigenraum von λ = 0
Löse (A − 0 I)v = 0 per Gauß-Elimination. Algebraische Multiplizität 3, geometrische Multiplizität 3. Basis: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
- 4
Zusammenfassung
A ist diagonalisierbar: die Eigenvektoren bilden eine Basis von ℝ^3, also A = P D P⁻¹.