Folgen & Reihen

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. 1

   Die Folge

   Arithmetische Folge mit erstem Glied a₁ = 3 und konstanter Differenz d = 5/2: jedes Glied ist das vorherige Glied plus d.

   $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$
2. 2

   Erste Glieder

   Wende a_k = a_1 + (k − 1)·d für k = 1, …, 5 an:

   • a₁ = 3
   • a₂ = 11/2
   • a₃ = 8
   • a₄ = 21/2
   • a₅ = 13
3. 3

   Das n-te Glied

   Setze n = 10 in die Formel ein:

   $$a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{51}{2}$$
4. 4

   Partialsumme

   Addiere die ersten 10 Glieder. Paart man das erste mit dem letzten Glied (Trick von Gauß), so ist die Summe gleich der Anzahl der Glieder mal dem Mittel aus erstem und letztem Glied.

   $$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ S_{10} &= \frac{10 \cdot (3 + \frac{51}{2})}{2} = \frac{285}{2} \end{aligned}$$
5. 5

   Ergebnis

   a₁₀ = 51/2 und S₁₀ = 285/2 — beides exakte Brüche.

   $$a_{10} = \frac{51}{2}, \qquad S_{10} = \frac{285}{2}$$