Lineare Gleichungssysteme

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. 1

   Die erweiterte Matrix aufstellen

   Schreibe die 3 Gleichung(en) in 3 Unbekannte(n) als eine Blockmatrix [A ∣ b]; die letzte Spalte ist die rechte Seite.

   1

   1

   1

   6

   2

   -1

   1

   3

   1

   2

   -1

   2
2. 2

   Partielle Pivotisierung: vertausche R1 ↔ R2

   Bringe den betragsmäßig größten Eintrag der Spalte 1 in Zeile 1, um ihn als Pivot zu verwenden.

   $$R_{1} \leftrightarrow R_{2}$$

   2

   -1

   1

   3

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
3. 3

   R1 normalisieren

   Teile Zeile 1 durch 2, damit der Pivot 1 wird.

   $$R_{1} \to \frac{1}{2}\,R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
4. 4

   Spalte 1 räumen

   R2 → R2 − (1)·R1 · R3 → R3 − (1)·R1

   $$R_{2} \to R_{2} - R_{1} \\ R_{3} \to R_{3} - R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2
5. 5

   Partielle Pivotisierung: vertausche R2 ↔ R3

   Bringe den betragsmäßig größten Eintrag der Spalte 2 in Zeile 2, um ihn als Pivot zu verwenden.

   $$R_{2} \leftrightarrow R_{3}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2
6. 6

   R2 normalisieren

   Teile Zeile 2 durch 5/2, damit der Pivot 1 wird.

   $$R_{2} \to \frac{1}{\frac{5}{2}}\,R_{2}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   3/2

   1/2

   9/2
7. 7

   Spalte 2 räumen

   R1 → R1 − (-1/2)·R2 · R3 → R3 − (3/2)·R2

   $$R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2}\,R_{2} \\ R_{3} \to R_{3} - \frac{3}{2}\,R_{2}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   7/5

   21/5
8. 8

   R3 normalisieren

   Teile Zeile 3 durch 7/5, damit der Pivot 1 wird.

   $$R_{3} \to \frac{1}{\frac{7}{5}}\,R_{3}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   1

   3
9. 9

   Spalte 3 räumen

   R1 → R1 − (1/5)·R3 · R2 → R2 − (-3/5)·R3

   $$R_{1} \to R_{1} - \frac{1}{5}\,R_{3} \\ R_{2} \to R_{2} + \frac{3}{5}\,R_{3}$$

   1

   0

   0

   1

   0

   1

   0

   2

   0

   0

   1

   3
10. 10

    Lösung ablesen

    Die linke Hälfte ist die Einheitsmatrix, also liefert jede Zeile direkt eine Variable.

    $$\begin{aligned} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 2 \\ x_{3} = 3 \end{aligned}$$

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    2

    0

    0

    1

    3
11. 11

    Ergebnis

    x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3