Eigenwerte & Eigenvektoren

Schritt-für-Schritt-Lösung

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   Charakteristisches Polynom

   Berechne p(λ) = det(λI − A) mit dem Faddeev-LeVerrier-Algorithmus. Jeder Koeffizient entsteht aus Spuren exakt berechneter Matrixprodukte — ohne Rundungsfehler.

   $$p(\lambda) = \lambda^{3}$$

   • p(λ) = λ^3
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   Nach rationalen Lösungen suchen

   Wende den Satz über rationale Lösungen an: Jede rationale Lösung p/q (vollständig gekürzt) hat p ∣ Absolutglied und q ∣ Leitkoeffizient. Gefundene Lösungen: 0 (×3).

   • λ = 0, algebraic multiplicity 3
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   Eigenraum von λ = 0

   Löse (A − 0 I)v = 0 per Gauß-Elimination. Algebraische Multiplizität 3, geometrische Multiplizität 3. Basis: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

   $$(A - \lambda I)\,v = 0$$
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   Zusammenfassung

   A ist diagonalisierbar: die Eigenvektoren bilden eine Basis von ℝ^3, also A = P D P⁻¹.