Zinseszins-Rechner
Endbetrag
1,628.89
Jeder Kontostand wird als exakter BigInt-Bruch berechnet — ohne Gleitkomma-Rundung.
- Verdiente Zinsen insgesamt
- 628.89
- Effektiver Jahreszins exakt
- 5%
- Verdopplungszeit (Jahre)
- 14.21
Schritt-für-Schritt-Lösung
- 1
Eingaben identifizieren
Beim Zinseszins werden die Erträge jeder Periode zum Kontostand addiert, sodass die nächste Periode Zins auf Zins erwirtschaftet. Die Eingaben stehen unten.
- P = 1000
- r = 5%
- t = 10
- n = 1
- 2
Jahreszinssatz als Bruch schreiben
Der Jahreszinssatz 5% wird zum exakten Bruch 1/20. Alle folgenden periodischen Rechnungen bleiben in Brüchen.
- 3
Periodenzins und Wachstumsfaktor
Bei 1 Zinsperioden pro Jahr wirkt pro Periode der exakte Periodenzins i = 1/20. Der Wachstumsfaktor ist B = 1 + i.
- 4
Anzahl der Zinsperioden
1 Perioden pro Jahr über 10 Jahre ergeben insgesamt N = 10 Zinsperioden.
- 5
Startkapital verzinsen
Die Potenz B^N wird exakt mit BigInt-Zähler und -Nenner ausgerechnet — ohne Gleitkomma-Rundung. Das angewachsene Startkapital beträgt etwa 1,628.89.
- 6
Gesamtbetrag
Der Endbetrag ist das angewachsene Startkapital plus die angewachsenen Einzahlungen: etwa 1,628.89.
- 7
Verdiente Zinsen
Abzüglich aller Einzahlungen bleiben die Erträge: etwa 628.89 Zinsen auf ein Startkapital von 1,000.00 und Einzahlungen von 0.00.
- 8
Effektiver Jahreszins
Öfter als einmal jährlich zu verzinsen schlägt den Nominalzins. Das gleichwertige einzelne Jahreswachstum ist EAR = B^n − 1, exakt als Bruch berechnet — etwa 5% pro Jahr.
- EAR = 1/20 ≈ 5%
- 9
Verdopplungszeit
Die Gleichung B^(n·t) = 2 mit Logarithmen gelöst ergibt die Verdopplungszeit: etwa 14.21 Jahre. Die 72er-Regel, 72 geteilt durch den Prozentsatz, schätzt 14.4 Jahre.
- 72 / 5 ≈ 14.4
Über den Zinseszins
Zinseszins ist Zins auf Zins. Die Erträge jeder Periode werden nicht ausgezahlt, sondern zum Kontostand addiert, sodass die nächste Periode auf einen größeren Betrag verzinst wird. Mit Startkapital P, Jahreszinssatz r und n Zinsperioden pro Jahr gilt nach t Jahren: A = P(1 + r/n)^(nt) — dasselbe geometrische Wachstumsgesetz, das geometrische Folgen antreibt.
Je öfter verzinst wird, desto mehr Ertrag: monatliche Verzinsung schlägt jährliche beim gleichen Nominalzins, und stetige Verzinsung — der Grenzwert für immer häufigeres Verzinsen — ergibt A = P·e^(rt). Der effektive Jahreszins (EAR) macht die Rhythmen vergleichbar: er ist das einzelne Jahreswachstum mit derselben Wirkung, EAR = (1 + r/n)^n − 1. Ein Nominalzins von 6% bei monatlicher Verzinsung entspricht wirklich etwa 6,17% pro Jahr.
Regelmäßige Einzahlungen verwandeln die Formel in eine Annuität: jede Zahlung wird für die Restlaufzeit verzinst und wächst zusammen auf C·((1 + r/n)^(nt) − 1)/(r/n) an — über lange Zeiträume oft mehr wert als das Startkapital. Für eine schnelle Schätzung der Verdopplungszeit teilt die 72er-Regel 72 durch den Prozentsatz: bei 5% ergibt sie etwa 14,4 Jahre, nah am exakten Wert ln(2)/ln(1.05) ≈ 14.21 Jahre.