Hypergeometrische Verteilung
- P(X = k)
- 385/969≈ 0.397317
- P(X ≤ k)
- 682/969≈ 0.703818
- P(X ≥ k)
- 224/323≈ 0.693498
Jeder Balken zeigt die exakte Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses; die dunkleren Balken bilden das gewählte Ereignis. Umschalten zwischen PMF (P(X = k)) und CDF (P(X ≤ k)).
Schritt-für-Schritt-Lösung
- 1
Formel
Für X ~ Hypergeometrisch(N, K, n) zählt P(X = k) die Stichproben mit genau k Erfolgen und teilt durch alle möglichen Stichproben: P(X = k) = C(K, k) · C(N−K, n−k) / C(N, n).
- 2
Werte einsetzen
N = 20, K = 8, n = 5, k = 2. Der Wertebereich ist 0 ≤ k ≤ 5.
- 3
Erfolge wählen
C(8, 2) = 28.
- 4
Misserfolge wählen
C(12, 3) = 220.
- 5
Alle möglichen Stichproben
C(20, 5) = 15504.
- 6
Zusammenführen
P(X = 2) = (28 · 220) / 15504 = 385/969.
- 7
Ergebnis
P(X = 2) = 385/969
Über die hypergeometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt das Ziehen ohne Zurücklegen: Aus einer Grundgesamtheit von N Elementen mit K Erfolgen werden n gezogen, und X zählt die Erfolge. Da gezogene Elemente nicht zurückgelegt werden, ändert jede Ziehung die Chancen der nächsten — anders als bei der Binomialverteilung mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Der Wertebereich ist max(0, n + K − N) ≤ k ≤ min(n, K): Mehr Erfolge als vorhandene sind unmöglich, und ab ausreichend großer Stichprobe sind mindestens n − (N − K) Erfolge erzwungen. Der Mittelwert ist n · K/N, die Varianz ist die binomische Varianz mal der Endlichkeitskorrektur (N − n)/(N − 1), die gegen 0 geht, wenn die Stichprobe die Grundgesamtheit ausschöpft.
Typische Anwendungen: Lottowahrscheinlichkeiten (6 aus 49), Qualitätskontrolle (Ausschuss in Stichproben) und Kartenspiele. Als Faustregel gilt: Ist die Stichprobe klein gegenüber der Grundgesamtheit (n ≤ N/10), ist die hypergeometrische Verteilung nahe an der Binomialverteilung Bin(n, K/N).